"Hai đường chéo cắt nhau tại O và song song với đáy AB....". Câu này không đúng lắm. Bạn xem lại đề.

Từ O kẻ đường thẳng song song với AB hay như nào vậy bạn.

tham khảo :

https://lazi.vn/edu/exercise/582904/cho-hinh-thang-abcd-ab-cd-cheo-cat-nhau-tai-o-p

c. -Xét △ADC có: OM//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{MO}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{MO}=\dfrac{AC}{AO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{OC}{AO}\) (1).

-Xét △BDC có: ON//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{ON}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\) (định lí Ta-let).

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{BD}{BO}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{OD}{BO}\)

-Xét △ABO có: AB//DC (gt).

\(\Rightarrow\dfrac{OD}{BO}=\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{DC}{AB}\) (3)

-Từ (1), (2),(3) suy ra:

\(\dfrac{DC}{OM}-1=\dfrac{DC}{ON}-1=\dfrac{DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DC}{OM}=\dfrac{DC}{ON}=\dfrac{DC}{AB}+1=\dfrac{AB+DC}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{OM}=\dfrac{1}{ON}=\dfrac{AB+DC}{AB.DC}=\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}\)

a: Xét ΔAOB và ΔCOD có 

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔAOB∼ΔCOD

Suy ra: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}\)

hay \(OA\cdot OD=OB\cdot OC\)

b: \(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)

\(\Leftrightarrow OA=\dfrac{1}{2}\cdot6=3\left(cm\right)\)

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)

Do đó: ΔOAB đồng dạng với ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}=\dfrac{OD}{OB}\)

=>\(\dfrac{OC}{OA}+1=\dfrac{OD}{OB}+1\)

=>\(\dfrac{OC+OA}{OA}=\dfrac{OD+OB}{OB}\)

=>\(\dfrac{AC}{OA}=\dfrac{BD}{OB}\)

=>\(\dfrac{AO}{AC}=\dfrac{BO}{BD}\)(1)

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AO}{AC}\left(2\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BO}{BD}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Xét ΔADC có OE//DC

nên \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{AE}{AD}\left(1\right)\)

Xét ΔBDC có OH//DC

nên \(\dfrac{OH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}\left(2\right)\)

Xét hình thang ABCD có EH//AB//CD

nên \(\dfrac{AE}{ED}=\dfrac{BH}{HC}\)

=>\(\dfrac{ED}{AE}=\dfrac{CH}{HB}\)

=>\(\dfrac{ED+AE}{AE}=\dfrac{CH+HB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{CB}{HB}\)

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{BH}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OE}{DC}=\dfrac{OH}{DC}\)

=>OE=OH

Ta có \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \) và \( \mathrm{OH} = \frac{1}{2}(\mathrm{AC} - \mathrm{BD}) \).

Vì \( \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} \), nên các tam giác \( \mathrm{ABE} \) và \( \mathrm{CDH} \) đồng dạng.

Do đó, \( \frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tương tự, \( \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Tổng hai phương trình trên ta có \( \frac{\mathrm{AE}+\mathrm{BE}}{\mathrm{AD}+\mathrm{BA}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \).

Nhưng \( \mathrm{AD}+\mathrm{BA} = \mathrm{AD}+\mathrm{BC} = \mathrm{AC} \) và \( \mathrm{AE}+\mathrm{BE} = \mathrm{AE}+\mathrm{AD} = \mathrm{DE} \).

Vậy \( \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{CD}} \) hoặc \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{CD}} \).

Lưu ý rằng \( \mathrm{CH} \) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \( \mathrm{C} \) đến \( \mathrm{AB} \), nên \( \mathrm{CH} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH}}{\mathrm{BC}} \).

Do đó, \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{CD} \cdot \mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD}} \).

Hóa giản và ta có \( \mathrm{DE} = \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} \).

Xét tam giác \( \mathrm{BHE} \), ta thấy \( \mathrm{OE} \) là đoạn trung bình của \( \mathrm{BH} \), nên \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2}\mathrm{BH} \).

Tổng kết lại, \( \mathrm{OE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mathrm{BH} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}} = \frac{\mathrm{DE}}{2} = \mathrm{OH} \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \( \mathrm{OE} = \mathrm{OH} \).